阿贝尔理论与现代数学

作者 | V.Arnold

翻译 | 吴帆

自兰道开始，物理学家就普遍认为数学不过是冗长十进位乘法的苟延残喘而已。“对青少年来说，数学是艰涩不可理喻的”，这种传言在学校教育中产生的流毒与在物理学家中相若。
事实完全相反。最伟大数学家的杰出之处恰恰在于他们用清晰的思想来代替盲目的计算。¹
有清晰思想的数学的一个光辉范例是阿贝尔定理的拓扑证明。这个定理说五次代数方程不可能用根式(和有理函数)解出。
很难决定在普通高中里哪些数学应该教，哪些数学不应该教。柯尔莫哥洛夫在莫斯科新办了一所高中。1963年他请我在这个学校开一个学期的数学课，题材自定(以图给高中里的欧几里德传统加进一些新成分)。
于是我挑了阿贝尔定理，把它的拓扑证明化成一系列初学者就能理解的问题。我想借这种形式教给学生若干重要的思想，通常这些思想中学生不知道，大学生(甚至教授)也不知道。
这样表述的阿贝尔理论覆盖了，例如复数的几何和黎曼面的拓扑、基本群和分歧覆盖的单演、正规子群和正合列，还谈到正多面体——包括正十二面体及其内接开普勒立方体—一的对称群。
在量子物理课上比在规规矩矩的数学课上更容易学到所有这些“摩登”科学。那种数学课就是折腾小孩，学生会做难死人的三角变换而不是几何地思考。
我的那些学生都是14到16岁，讲授的内容理解得很好，解出许多问题和练习，在要求原创性的期末考试中非常成功。我给他们的评价比一般大学生还要高，那些大学生都被教得只会套用标准的形式规则。
这些形式规则的形式运用是标准教育的绝大部分内容。这使我想起了马拉的话：最好的数学家是拉普拉斯，因为他把数目代入现成的公式就算出了每个问题的解答。
拿破仑给过拉普拉斯一个部长位子，可是后来又把他赶走了，指责他在国务管理中“把无穷小的精神带进来”(法国同事对我解释说拉普拉斯想算清楚所有帐目上的每一分钱)。
与拉普拉斯不同，阿贝尔从来没有和什么政府走得很近。他给巴黎科学院的他的定理的证明那时没人看懂(因为新思想太多了，有几何的、拓扑的、代数的和组合的)。
更要命的是他的手稿不知是被柯西弄丢了还是给藏起来了，作者身后多年才得以出版。
当时一家法国报纸报道说，这位在巴黎住了一年的数学家运气太背，“走过大西洋的浮冰徒步回到了他的西伯利亚，一个叫挪威的地方”。
阿贝尔自己笔下的法国数学倒是令人惊奇地与时俱进：“人人好为人师，无人乐意为徒。因为他们都是他自己那个特殊领域的专家(管他是热理论还是弹性理论，天体力学还是数论)，他们对任何更广泛的问题都没有兴趣。”
阿贝尔的数学之路是很特别的。早年他从韦塞尔那里学来复数的几何理论，沿着这条路独自想出了黎曼面理论和沿黎曼面上一条曲线的阿贝尔积分。(比方说有个成果是，二次多项式的平方根的显式可积性与圆的黎曼面是球面这个拓扑事实有关。由此又得出把这种积分化成有理函数积分的欧拉换元法以及埃及三元组²，如3²⁺4²⁼5²和5²⁺12²⁼13²。埃及三元组与黎曼面的拓扑的关系值得在高中就讲。)
这些事实展现出的所有数学的统一性可与物理学中发现电与磁的统一性相比肩。
阿贝尔还懂得，由于相应的黎曼面在拓扑上是环面(牛顿在尝试用开普勒面积定律解释行星轨道的椭圆形状时就研究了这个问题)，三次多项式的平方根不可能显式地积出(例如计算椭圆弧长)。
阿贝尔的思想，包括黎曼面理论的要点(同期雅可比也发展了这个理论)，黎曼面同代数函数积分(如今称为阿贝尔积分)的关系，以及其他一些东西，在当代数学与数学物理中仍有着异乎寻常的影响。二者都走上了阿贝尔提出的道路。
令人遗憾的是，某些在社会上比阿贝尔更成功的数学家表达了对阿贝尔著作的负面意见。哈代就写道：“阿贝尔、黎曼和庞加莱对人类没做什么实质性的贡献。”
在我看来，阿贝尔、黎曼和庞加莱的思想才是大部分现代数学的真实基础，大量现代物理与技术的成就基于他们的思想。现代人类文明的全部胜利，无论是心智的还是物质的，无论是飞机空气动力学、太空航行，还是天体力学、波传导理论、生态学和量子场论，无一不以他们三位的思想为源流。
承袭阿贝尔、黎曼和庞加莱著作的现代研究，从数量和内容上看都是巨大的。较之“现成公式”的技术细节，这些著作的思想更多地影响了理论科学及其应用。
在1964年我的阿贝尔定理的拓扑证明的高中课程³中，我把几个结果的拓扑证明归功于阿贝尔，其中一个我命名为“拓扑伽罗瓦理论”，有如下述。
阿贝尔原先的结果是说5次方程的根式不可解性，我对阿贝尔定理的证明把这个结果推广到与系数的5次方程的根的相关性拓扑等价的所有复函数上去。我把它看成5次(及以上)方程根式解的拓扑不可解性。
阿贝尔积分，包括椭圆积分的拓扑不可积性也归功于阿贝尔：椭圆积分和椭圆函数都不会和任何一个初等函数(哪怕是初等函数组合上任何一个单叶函数)拓扑等价。
1964年我就提议学生出版这些重要结果的证明。看来四十年之后这个目标终于达到。
数学教育(既指高中的，也指大学的)从繁杂地套用现成公式回归到真实的思考和简单的思想，在我看来，要想传承上个世纪的数学文化、引发新的发现和应用，除此别无他途。
注释：1. 原注在布尔巴基《数学史》的俄文版中，狄利赫雷的这句话被翻作“用盲目的计算来代替清晰的思想”。编辑(柯尔莫哥洛夫)对我解释说这个误译较之狄氏的原话更能描绘布尔巴基干的事。2. 译注 即勾股数组。3. 原注 当年的一位听众阿列克谢耶夫在1976年编成了一本书《通过解题学阿贝尔定理》。艾卡迪翻成英文和法文，英文本由克鲁威尔出版，法文本由卡西尼出版。

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